Sto seguendo un corso di Fondamenti della Matematica (Sapienza), e mi ripropongo di raccogliere alcune riflesisoni che giungono a me da questa insolita ed esaltante esperienza.

Benché il mio impegno nell’affrontare questa disciplina non sia certo scanzonato, nessuno dei miei articoli di questa serie pretende di essere scientificamente valido, I miei spunti non devono essere considerati come critiche, ma solo come curiosità e riflessioni da parte di un inguaribile impiccione.

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Durante la presentazione del corso, il prof. Bernardi ha chiarito che il programma del corso si incentra sull’illustrazione della teoria assiomatica (o razionale) degli insiemi.

Il primo passo è costituito dall’oltrepassamento della teoria ingenua (naive) degli insiemi, che viene vista come una tappa elementare e rudimentale; magari anche utile, ma non rigorosa.

Per far apire in che senso si opprrà una teoria assiomatica ad una ingenua degli insiemi, il professore esemplifica attraverso la distinzione tra geometria intuitiva e geometria assiomatica.

La geometria intuitiva parte dalle osservazioni, e crea un sistema utile a spiegare, ma non a dimostrare. Secondo questo sistema, una retta, ad esempio, è una linea lunga e dritta. La geometria assiomatica, invece, si pone come obiettivo quello di dimostrare gli argomenti comuni alla geometria intuitiva. La dimostrazione parte da risutati che già conosco, e che quindi precedono concettualmente gli argomenti in questione. Questi dati che assumo come base, sono i postulati, o assiomi.

La geometria assiomatica non spiega la natura della retta, ma la classifica come un oggetto che deve soddisfare a determinati postulati.

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A questo punto io avrei due domande.

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1) Il punto, ad esempio, è un elemento della geometria intuitiva o assiomatica? Nonostante la sua lampante raffigurabilià, esso è un concetto astratto, al di fuori (per definizione) di ogni umana percezione.

Per approfondire questo punto, rimando al seguente articolo di Francesco Lamendola, Euclide e il punto.

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2)  Da dove giungono i postulati se non dalla osservazione? Forse la teoria intuitiva non è una evoluzione di quella intuitiva, bensì una sorta di astrazione simile non tanto a quella pittorica, quanto a quella razionalistico-cartesiana.

Pertanto, mi piace concludere, con un breve cenno al valore che per primo Locke ridà all’esperienza. Contro l’innatismo egli oppone il dato di fatto che, se davvero certe idee fossero innate nell’uono, esse si presneterbbero con carattere universlae e universalmente riconoscibile. A questo punto, la distinzione fra geometria intuitiva  e assiomatica non avrebbe ragione d’esistere, perché coinciderebbero. Ma il fatto è che in realtà non coincidono.

No man’s knowledge here can go beyond his experience

John Locke