Emilio Fantin – Project, 2009 (resoconto della performance)

In attesa del video che sto montando e del programma radiofonico che RAM sta preparando sulla performance, quello che segue è un resoconto poco oggettivo che mira a restituire il racconto di un evento (e soprattutto della sua preparazione) da un punto di vista preciso e volutamente parziale: quello di un curatore che ha appena concluso un’esperienza importante di ricerca e di approfondimento. Stendo questo racconto al fine estremamente personale di capire alcuni meccanismi messi in moto ma che avrebbero rischiato di passare inosservati; ancor di più vorrei capire i  miei errori. Ma già so che in questo compito sarò poco bravo. Ed è soprattutto questo il motivo per cui ho deciso di sottoporre questo racconto per certi versi così intimo (e meno indirizzato al pubblico rispetto a tutto quanto io abbia pubblicato su questo blog sin’ora) all’attenzione di un gruppo anonimo ed eterogeneo di internauti che spero voglia aiutarmi in questa autocritica.

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Sono passati più di due mesi dalla mia prima lezione di Fondamenti di Matematica. Da quel giorno (quasi) ogni lunedi, mercoledi e venerdi ho cercato di districarmi fra i teoremi e le dimostrazioni che sostanziano la teoria assiomatica degli insiemi.
Il fatto che con il passare delle settimane la mia abilità matematica crescesse in modo inversamente proporzionale alla personale convinzione di stare operando all’intenro del campo artistico, non significa che io sia diventato un esperto di matematica (tanto quanto non significa che il dubbio dal quale la ricerca era partita abbia alla fine corroso la finalità precipauamente artistica e filosofica della performance che ho curato).

Lezione dopo lezione, il professore (Claudio Bernardi) mi forniva un numero crescente di argomenti che io cercavo di metabolizzare su un duplice livello. Da una parte (per lo più nelle mattinate) raccoglievo tutta la mia diligenza per studiare ed esercitarmi al fine di ottenere la capacità di utilizzare correttamente gli strumenti; d’altra parte (per lo più nottetempo) lasciavo libero il mio pensiero e scrivevo le mie riflessioni sul blog, ne parlavo con Emilio o semplicemente le lasciavo maturare in me stesso affinché quegli stessi strumenti potesseto iniziare a configurarsi come arnesi adatti ad essere utilizzati da Emilio.

Un punto di svolta che coinvolse sia il mio apprendimento sia la preparazione della performance avvenne a fine aprile.
Emilio Fantin mi aveva da poco fatto notare un certo commento ricevuto a Project nell’ambito di DoDai. Esso recitava: “Ricorsività o involuzione?”. In quella settimana fu chiaro che Project sarebbe stato il lavoro portato come esempio nella performance di quest’anno,  anche se presentava assai più problemi dei lavori utilizzati in Autoreferenziale. Project era molto più recente e metteva in campo elementi assai meno decifrabili rispetto all’autoreferenzialità.

Emilio Fantin ed Emanuele Sbardella durante la performance del 2008, Autoreferenziale

All’inizio di quella settimana cruciale, quindi, l’assillo che non mi faceva dormire era il tema che, fra la varie proposte che ci giravano in testa, avremmo alla fine proposto ed Emilio affronteto durante la performance. Inizialmente sembrava aver preso un certo vantaggio sulle altre proposte il tema dell’involuzione. Questo concetto, messo in gioco dal comemnto che Emilio mi aveva fatto notare, era riconducibile anche ad alcuni argomenti di metematica. Tuttavia esso, applicato all’arte, era sin troppo ambiguo; applicato alla matematica, per me, ancora troppo oscuro.

Ecco un esempio dlele e-mail che ci scambaivamo in quel periodo. Io scrivevo:

Le involuzioni sono funzioni che applicate de volte allo stesso insieme fanno si che risulti l’identico insieme iniziale, come nel caso della simmetria. Applicare due volte la simmetria, rende nuovamente l’identità.

Nel caso di Project è difficile individurare questi due momenti, ma concettualmente non impossibile. Infatti si potrebbe dire che in un primo momento l’apertura dell’opera (U. Eco) è tale che ogni commento espande il significato dell’opera, ma in un secondo momento si è costretti sempre a tornare sull’insensatezza del primo disegno a matita.

Un primo moviento applica un’aggiunta che da una specie di (+1) all’insieme iniziale. Tale che (n+1); un secondo movimento costringe a ritornare sullo stesso misero elemento di partenza (n).

Nemmeno Emilio era molto convinto della possibilità di poter direzionare la performance lungo questa traiettoria, e il titolo provvisorio di Involution de l’art cedette facilmente il passo quando in quella settimana di fine aprile emerse con chiarezza un tema di fondo diverso dall’involuzione (il buon ordine, di cui parlavo in questo articolo) e la necessità di lasciarlo sullo sfondo senza imperniare comunque la performance su di esso.

Alla fine della medesima settimana la svolta è stata sancita dal fatto che il professore mi abbia invitato alla lavagna a fare un esercizio (nella fattispecie, moltiplicazione di ordinali) che sono riuscito a risolvere con un dignuitoso successo.

Di lì in poi la fase ideativa della performance è stata considerata conclusa, ed iniziavano a farsi sentire necessità organizzative più puramente tecniche (dalla comuicazione all’allestiemento, passando per il fund raising).

In primo luogo ho consolidato gli accordi e le colaborazioni con FB (Fondazione Baruchello), RAM (radioartemobile) e MLAC (Museo Laboratorio di Arte Contemporanea); rispettivamente nelle persone di Carla Subrizi; Dora Stiefelmeier, Mario Pieroni e Ilari Valbonesi; Simonetta Lux e Domenico Scudero.

In secondo luogo ho scritto, sempre con la supervisione di Emilio Fanitn, un volantino informativo teso a preparare gli studenti

Infine ho preso accordi con ciscuno degli operatori che avrebbero in qualche misura preso parte all’organizzazione dell’evento, svolgendo il loro lavoro. La bidella mi ha fatto scoprire il funzionamento delle tapparelle veneziane; la portineria di matematica mi ha spesso controllato materiale lasciato in deposito; i vigilanti all’ingresso dell’università hanno acconsentito a far entrare la vettura di RAM per depositare le pesanti attrezzature di fronte al dipartimento di matematica; il professore della lezione che precedeva la nostra ogni mercoledì ha acconsentito a che venissero installati videoproiettore e schermo prima dell’inizio della sua lezione.

Oggi scrivo questo resoconto personale della mia esperienza curatoriale, a due giorni dalla conclusione della prima fase della performance di Emilio Fantin.

Emilio Fantin

Essa è avvenuta il 6 maggio 2009.
Il giorno precedente, il 5 maggio, l’artista era giunto da Bologna ed in serata abbiamo discusso gli ultimissimi dettagli e fatte le ultime prove all’interno della studio a Trastevere messo gentilmente a disposizione da Cesare (Pietoriusti).

Tutto sembrava andare per il verso giusto, fin quando non decidaimo di connetterci ad intenet per provare a leggere i commenti direttamente dal blog di BridA (come sarebbe accaduto l’indomani). Il blog non si apriva. Nemmeno da un altro computer o sostituendo i cavi. Parte una chiamata skype di urgenza a Sendi (Mango di BridA, di cui fa parte insieme Tom Kerševan e Jurij Pavlica), e alle ore 23:00 veniamo a scoprire che c’è un  problema con il loro internet provider. Ad evitare il peggio c’è stato l’impegno di Sendi a risolvere il problema, passando la notte in binaco mentre io ed Emilio andavamo a riposarci rimettendoci alla buona riuscita del suo intervento in extremis. Quando la mattina del 6 maggio alle ore 7:30 stavo già all’Università per sistemare il materiale, il mio più grande ringraziamento è andato a lei quando tra le altre cose ho verificato che il loro blog era nuovamente funzionante.

Monto la strumentazione in 5 minuti

Alle 9:00 Emilio era già arrivato, ed insieme abbiamo atteso l’arrivo dei pochi invitati a questa performance che praticamente si sarebbe svolta a porte chiuse. Alle 10 l’aula si era liberata ed alle 10:15 tutto era pronto per iniziare. Emilio Fantin presetato brevemente dal professor Claudio Bernardi al centro, ed io defilato in postazione regia, fra il mio labtop ed il videoproiettore che mi aveva prestato Alberto (Tessore di 20eventi).

La lavagna e il computer - Foto di Ilari Valbonesi

Il tempo a nostra disposizione era di circa mezz’ora, ma alla fine il dibattito che la performance ha suscitato ha fatto si che ci siamo potuti congedare solo alle ore 11:00 (dopo quasi un’ora). In questo performance formato lezione, l’artista ha contemporaneamente esposto un suo lavoro precedente e lo ha espanso fino a farci rientrare la situazione attuale.

Una volta usciti dall’Aula C del Dipartimento di Matematica, io ed Emilio siamo stati intervistati da Ilari Valbonesi (RAM) nel giardino della Sapienza, dietro al rettorato.

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Alcuni dei post che ho scritto nel mio blog,  durante la curatele dell’evento.

> Geometria intuitiva http://emanuelesbardella.wordpress.com/2009/03/05/fondamenti-della-matematica_geometria-intuitiva/

> Assi(omi) http://emanuelesbardella.wordpress.com/2009/03/05/fondamenti-della-matematica_02-assi-e-assiomi/

> Astrattismo e insiemistica http://emanuelesbardella.wordpress.com/2009/03/09/fondamenti-della-matematica_03-insiemi-e-astrazioni/

> Le  proprietà di un insieme http://emanuelesbardella.wordpress.com/2009/03/10/fondamenti-della-matematica_04-insiemi-e-proprieta/

> L’insieme degli articoli che… http://emanuelesbardella.wordpress.com/2009/03/11/fondamenti-della-matematica_05-linsieme-degli-articoli-che-fanno-riferimento-a-questo-articolo/

> Le bellezza dei numeri http://emanuelesbardella.wordpress.com/2009/03/11/fondamenti-della-matematica_05-linsieme-degli-articoli-che-fanno-riferimento-a-questo-articolo/

> Il Buon Ordine http://emanuelesbardella.wordpress.com/2009/04/10/fondamenti-della-matematica_07-buon-ordine/

> Formalizzazione di NoMA (un  mio progetto artistico) http://emanuelesbardella.wordpress.com/2009/04/10/fondamenti-della-matematica_07-buon-ordine/

> Inconscio e matematica http://emanuelesbardella.wordpress.com/2009/05/01/fondamenti-della-matematica_09-inconscio-fra-arte-e-matematica/

Fondamenti della Matematica_09 – Inconscio: fra arte e matematica

Leggendo un libro sulla psicologia dell’invenzione in campo matematico, vengo attratto da un’argomentazione. In matematica, ancor più che negli atri campi del sapere,  le nuove e più importanti conquiste hanno a che fare con processi inconsci. L’autore, il matematico francese Jacques Hadamard, cita Poincaré, il quale parla dei suoi migliori risultati scientifici come di “illuminazioni improvvise, segni evidenti di un lungo lavoro inconscio precedente”.

Secondo Hadamard l’incoscio riveste un doppio ruolo:

- in un primo momento costruisce la massa delle varie combinazioni di idee (assumedo che l’invenzione consiste in una opportuna combinazione di idee)

- in un secondo momento le seleziona in modo tale che si rivelino utili a risolvere qualche problema.

Ma, secondo quale criterio tale selezione  avviene? Secondo un criterio estetico: ecco un caso lampante in cui in senso soggettivo della bellezza estetica conduce ad oggettivare idee per la formalizzazione di leggi, dimostrazioni o teoremi matematici.

“I fenomeni inconsci privilegiati, suscettibili di idventare coscenti, sono quelli che, direttamente o indirettamente, colpiscono più profondamente la nostra sensibilità. Ci si può stupire di veder invocare la sensibilità a proposito di dimostrazioni matematciehche sembrerebbero interessare solo l’intelligenza. Sarebbe dimenticare la sensazione della bellezza matematica, dell’armonia dei numerie dlle forme, dell’eleganza geometrica. È una vera sensazione estetica, che tuti i matematici conoscono. Ed è proprio questione di sensibilità” (Poincaré, 1908)

Henri Poincaré

Nello stesso periodo (primo decennio del Novecento) si consumava nel campo dell’arte un movimento opposto, che avrebbe condotto all’investigazione delle basi logiche su cui poggia l’arte, e che determinò la rottura fra quella che arbitrariamente si suole chiamare arte moderna da quella contemporanea.

L’intervento dell’inconscio, tradizionalmente canale privilegiato e quasi esclusivo del fare artistico, non veniva più assunto come naturale supporto o oggetto dell’artista, ma veniva ora criticato e scandagliato. Sulla base scientifica della psicoanalisi i surrealisti elaborarono, ad esempio, il metodo delle libere associazioni.

L’arte perde gran parte della sua fruibilità puramente estetica e contemplativa pur di guadagnare terreno sulla strada della ricerca autocritica (sulle proprie possibilità espressive e conoscitive). In questo sviluppo, spesso fa esplicito riferimento alla matematica, sia per i suoi contenuti, sia per il suo approccio disciplinare.

Gabridele De Vecchi, Superficie in vibrazione,1959

Fondamenti della Matematica_08 – Formalizzazione matematica di un progetto artistico

Enunciato matematico del progetto NoMA:

Enunciato

esiste (almeno) un emanuele che appartiene al denaro tale che non esiste più emanuele.

Formalizzazione

Fondamenti della Matematica_07 – Buon Ordine

Un Buon Ordine è un insieme ordinato totale e fondato.

Totale; significa che due elementi presi a caso in questo insieme sono sempre tra loro confrontabili.

Fondato; significa che contiene un elemento minimale, oltre il quale non si può scendere.

Emilio Fantin, Project, DoDai, BridA

Lo schizzo disegnato a matita su un pezzo di carta, elemento di partenza che innesca il Progetto di Fantin, è il minimale (e minimo) di un buon ordine.

Il minimale, infatti, non può essere un insieme vuoto; l’oridine crecente che si costituisce a partire da questo elemento è una serie successiva di interpretazioni confrontabili fra loro anche se disparate (il che spiega la totalità dell’ordine); una serie che parte dall’elemento minimo, sotto al quale, senza il quale l’ordine non potrebbe essere (il che lo rende un ordine fondato).

L’insieme dell’opera di Fantin è un insieme transitivo: come omega contiene in se un numero ordinato di elementi, ciascuno dei quali è anche un suo sottoinsieme.

Ogni nuovo commento appartiene all’opera (come l’insieme successore lo integra ampliandolo) ed è costituito a sua volta di elementi che erano già presenti nel “progetto”).

> Cosa direbbe Wittgenstein del Valore (“Buono”) di un ordine?

> Il Cosmo è un Buon ordine?

Fondamenti della Matematica_06 – La bellezza dei numeri

Durante il corso di Fondamenti di Matematica tutti gli studenti, due a due, sono chiamati ad effettuare uan relazione, su uno a scelta di una lista di tempi proposti.

Sul ventituesimo della lista, Criteri estetici in matematica, mi piace iniziare a segnalare la recente pubblicità dell Fiat Bravo.

I numeri non sono mai stati così belli

Eppure già Platone, discuteva della bellezza dei numeri, e spiagava anche perché una cosa come può esser euna macchina possa acquisire valore estetico attraverso la perfezione di numeri. Può farlo perché la svincola dall’imperfezione della materia.

I numeri, per Platone, erano a metà strada tra mondo sensibile e mondo intellegibile, materiale e ideale.  Il Demiurgo plasma l’ Universo e “volendo che tutte le cose fossero buone , e che nulla , nella misura del possibile , fosse cattivo , prendendo quanto era visibile e che non stava in quiete , ma si muoveva confusamente e disordinatamente , lo portò dal disordine all’ ordine , giudicando questo assolutamente migliore di quello” (Platone).

Come spiega Diego Fusaro:

Il Demiurgo , poi , diede intelligenza a tutte le cose , perchè tutto ciò che é dotato di intelligenza é superiore a ciò che non lo é : tuttavia é impossibile che l’ intelligenza si trovi in cose senz’ anima ( le pietre , per esempio ) , e così il Demiurgo diede all’ intero universo un’ anima e non é quindi sbagliato dire che le pietre sono animate , in quanto facenti parte di questo grande organismo vivente che chiamiamo ” mondo ” , che perPlatone é l’ unico . Platone introduce quindi il concetto di ” anima del mondo ” : il mondo delle idee abbiamo detto che è movimentato , intelligente, vitale: il mondo sensibile , nella misura in cui il Demiurgo lo plasma , non può che essere simile a quello intellegibile : ha un’ anima sua .L’Universo è un grande essere vivente permeato interamente da un’ anima.Tutto quindi è vitale , sebbene in diverse misure. L’osso è vivo perchè fa parte di un essere vivente , ma anche la pietra è viva perchè fa parte di questo grande essere vivente (l’Universo).

Anche la Fiat Bravo ha un’anima e un’intelligenza.

Fondamenti della Matematica_05 – L’insieme degli articoli che fanno riferimento a questo articolo

L’insieme di articoli che fanno riferimento a questo articolo.

Ogni articolo che metterà un link a questo, lascerà un pingback, una traccia del loro riferimento, che contribuirà ad ampliare l’articolo stesso.

L’insieme dei pingback sarà il catalgo direttamente aggiornato dei blog che fanno e faranno riferimento a questo articolo. Facendo questo, l’articolo diverrà un insieme che contiene se stesso.

Situazione simile, ma ampliata, rispetto al paradosso del bibliotecario e del catalogo di cataloghi che catalogano[1].

Qui sotto si creerà la lista dell’insieme degli articoli che, questo articolo prima di tutti, fanno riferimento a questo articolo.

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[1] La logica di internet ci permette di andare oltre il classico paradosso del catalogo (illustrato, ad esempio, qui).

Poniamo che io crei un antiblog, nel quale io scriva un solo articolo, in cui mi metto con pazienza a fare la lista dei blog che non abbiano fatto riferimenot a quell’articolo. I blog saranno moltissimi, ma non infiniti. Il problema è che, mentre nel dire questo articolo, come anche auesto libro, posso veitare di mettere un link; nel dire quell’articolo – essendo su internet, debbo mettere un link, creando un ulteriore cortocircuito.

Fondamenti della Matematica_04 – Insiemi e proprietà

Si è soliti definire un insieme

- per elencazione

- secondo il principio di comprensione

Questo secondo metodo, che pur non rientra nella teoria assiomatica, già permette di lavorare sull’infinito, e di generalizzare rispetto al dato particolare.

Rientra tuttavia nella teoria ingenua. Fa sì che, PARADOSSALMENTE, pur seguendo correttamente da presupposti corretti si possa giungere a conclusioni sbagliate. Si creano dissonanze rispetto all’approccio per concetti ed estensioni.

Il paradosso, in questo caso, è di tipo metodologico, ed è la stesso assurdo che inchiodava Platone alle idee dell’iperuranio, e che conducono eminenti pensatori come Wittgenstein e Gombrich. Entrambi sono austriaci ed hanno discusso toricamente dell’estetica e dell’espressione; seppure da un punto di visa filosofico il primo e storico asritstico il secondo.

Wittgesntein ha riflettuto spesso sull’effetto di un’opera d’arte. Egli critica il punto di vista meramente comportamentista. Pone sotto analisi il legame fra volontà di frutire una certa opera e l’effetto che si aspetta di trarne, e la valutazione che in seguito si effettua dell’opera d’arte. L’errore è lo stesso di quando si pensa che il significato di una parola accompagni e trascenda la sua enunciazione.

Dietro ad un francese che dice il pleut ed un inglese che dice it rains “non è che accada qualcosa in entrambe le menti che è il senso reale di piove”.

Così anche in estetica, in etica e, fondamentalmente, in logica e in matematica. Per questo motivo, durante il corso assumeremo a concezione estensionale della matematica (per evitare di prendere in considerazione le intenzioni e le modalità secondo le quali un insieme è stato costituito).

A partire dall’espressione del volto e dalla sua raffigurazione, Wittgenstein offre interessantissimi spunti estetici.

«Guarda una faccia – importante è la sua espressione – non il suo colore, le sue misure, etc.».

«Bene, dacci l’espressione senza faccia».

L’espressione non è un effetto della faccia – su di me, o su qualsiasi altro. Non potresti dire che se qualcosa d’altro avesse questo effetto, dovrebbe avere l’espressione di questa faccia. La faccia non è u mezzo per produrre l’espressione.

[…] Potrei disegnarvi una faccia. Poi, un’altra volta, disegno un’altra faccia. Voi dite «non è la stessa faccia», ma non potete dire se gli occhi sono più vicini o la bocca più lunga. «Sembra diversa in qualche modo».

Il quid espressivo è anche l’elemento problematico che assilla Gombrich, nei suoi testi su percezione ed espressione.

Ed è divertente che, in uno dei testi del grande storico dell’arte, egli utilizzi come esempio proprio l’espressione acuta di Russell.

Nessuna crescita o decadimento può distruggere l’unità dell’aspetto individuale.

Fondamenti della Matematica_03 – Insiemi e astrazioni

Cos’è, quindi, un insieme?

Intuitivamente siamo portati a fornirne una descrizione simile alla seguente: “aggregato di elementi accomunati da qualche proprietà”.

Rinunciando alla teoria intuitiva, arriveremo a definire anche l’insieme come un oggetto che soddisfa ai postulati.

Grazie a questa rinuncia:

- otteniamo una definizione piu rigorosa emeno ambigua del nostro oggetto

- superiamo alcuni paradossi che si vengono a creare applicando fedelmente le teoria ingenua, pur partendo da presupposti accettabili.

Io direi:

1) Forse la teoria intuitiva non può nemmeno essere chiamate \”teoria\”. O forse lo è ancora di più, in quanto si riallaccia maggiormente alla etimologia graca della parola (theorein), e quindi al valore primario dell\’osservazione.

2) Anziché “rinunciare a\” la teoria intuitiva, si potrebbe con più efficacia dire “fare astrazione da\” i dati dell\’intuitizione.

Sappiamo cosa per Bergson significasse, e quali rischi comportasse, operara un\’astrazione dai dati immediati della coscienza.

Bergson la chiama spazializzazione del tempo.

Da questa analisi risulta che solo lo spazio è omogeneo, che le cose situate in esso costituiscono una molteplicità indistinta, e che tutte le molteplicità distinte sono ottenute grazie a un dispiegamento nello spazio. Risulta pure che nello spazio non ci sono né durata né
successione, nel senso in cui la coscienza intende questi termini: ognuno dei cosiddetti stati successivi del mondo esterno esiste da solo, e la loro molteplicità ha realtà solo per una coscienza in grado prima di conservarli, e poi di giustapporli esteriorizzandoli gli uni rispetto agli altri. Se essa li conserva, ciò avviene perché questi diversi stati del mondo esterno danno luogo a dei fatti di coscienza che si compenetrano, si organizzano insensibilmente insieme e, per l\’effetto
di questa stessa solidarietà, legano il passato al presente. E se li esteriorizza gli uni rispetto agli altri, è perché, pensando poi alla loro distinzione radicale (poiché uno cessa di essere quando l\’altro appare), li pensa nella forma di una molteplicità distinta: il che significa ritornare ad allinearli insieme nello spazio in cui ciascuno di essi esisteva separatamente. Lo spazio di cui ci si serve per far ciò è proprio ciò che viene definito tempo omogeneo. [...] In breve, si dovrebbero riconoscere due specie di molteplicità, due possibili significati del termine distinguere, due concezioni, l\’una qualitativa e l\’altra quantitativa, della differenza tra il medesimo e l\’altro. [...]
Purtroppo, siamo talmente abituati a spiegare l\’uno con l\’altro questi due significati dello stesso termine, e addirittura a scorgerli l\’uno nell\’altro, che ci risulta molto difficile distinguerli, o per lo meno esprimere questa distinzione attraverso il linguaggio. Dicevamo dunque che parecchi stati di coscienza si organizzano fra loro si compenetrano, si arricchiscono sempre più, e che, a un io che ignorasse lo spazio, essi potrebbero fornire così il sentimento della durata pura: ma già per impiegare il termine \”parecchi\” avevamo isolato questi stati gli uni dagli altri, li avevamo esteriorizzati, gli uni rispetto agli altri, li avevamo insomma giustapposti, e così, la stessa espressione cui abbiamo dovuto far ricorso, tradiva la nostra abitudine radicata di dispiegare il tempo nello spazio. [...] Diviene allora evidente che, al di fuori di ogni rappresentazione, simbolica, il tempo non assumerà mai per la nostra coscienza l\’aspetto di un mezzo omogeneo, in cui i termini di una successione si esteriorizzano gli uni rispetto agli altri. Ma a questa rappresentazione simbolica perveniamo naturalmente, per il solo fatto che, in una serie di termini identici, ogni termine assume per la nostra, coscienza un duplice aspetto: uno sempre identico a se stesso, poiché pensiamo all\’identità dell\’oggetto esterno, l\’altro specifico, perché l\’addizione di questo termine dà luogo a una nuova organizzazione dell\’insieme. Di qui, la possibilità di dispiegare nello spazio, nella forma di molteplicità numerica, ciò che abbiamo chiamato una molteplicità qualitativa, e di considerare l\’una come l\’equivalente dell\’altra. Ora, da nessuna parte questo doppio processo si compie così facilmente come nella percezione di quel fenomeno esterno, inconoscibile in sé, che assume per noi la forma di un movimento. In questo caso abbiamo proprio una serie di termini identici tra loro, poiché si tratta sempre dello stesso mobile; ma d\’altra parte, la sintesi operata dalla nostra coscienza tra la posizione attuale e ciò che la nostra memoria chiama la posizione anteriore, fa sì che queste immagini si compenetrino, si completino e che in qualche modo si prolunghino le une nelle altre. Quindi, è soprattutto attraverso l\’intermediario del movimento che la durata assume la forma di un mezzo omogeneo, e che il tempo si proietta nello spazio. Ma, se non ci fosse stato il movimento, ogni ripetizione di un fenomeno esterno ben determinato avrebbe suggerito alla coscienza lo stesso modo di rappresentazione. Così, quando sentiamo una serie di colpi di martello, i suoni, in quanto sensazioni pure, formano una melodia indivisibile, dando ancora luogo a ciò che abbiamo chiamato un progresso dinamico: ma, sapendo che agisce la stessa causa oggettiva dividiamo questo progresso in fasi che da questo momento consideriamo identiche; e poiché questa molteplicità di termini identici non può più essere concepita se non in base a un dispiegamento nello spazio, perveniamo di nuovo e necessariamente all\’idea di un tempo omogeneo, immagine simbolica della durata reale. Insomma, con la sua superficie, il nostro io tocca il mondo esterno: e, sebbene si fondino le une nelle altre, le nostre sensazioni successive mantengono qualcosa dell\’esteriorità reciproca che caratterizza oggettivamente le loro cause; ed è per questo che la nostra vita psicologica superficiale si svolge in un mezzo omogeneo senza che questa modalità di rappresentazione ci costi un grande sforzo.
Ma il carattere simbolico di questa rappresentazione diviene sempre più evidente via via che penetriamo nelle profondità della coscienza: l\’io interiore, quello che sente e si appassiona, che delibera e decide, è una forza i cui stati e modificazioni si compenetrano intimamente, subendo una profonda alterazione allorché li si separa per dispiegarli nello spazio. Ma siccome questo io più profondo forma una stessa e unica persona con l\’io superficiale, sembra che essi durino nello stesso modo. E siccome la rappresentazione costante di un fenomeno oggettivo identico che si ripete seziona la nostra vita psichica superficiale in parti esterne le une alle altre, a loro volta, i momenti così ottenuti determinano dei segmenti distinti nel progresso dinamico e indiviso dei nostri stati di coscienza più personali. Così, questa esteriorità reciproca che la loro giustapposizione nello spazio omogeneo assicura agli oggetti materiali si ripercuote e si propaga sino alle profondità della coscienza: a poco a poco, le nostre sensazioni si staccano le une dalle altre come le cause esterne che le fecero nascere, e questo accade anche per i sentimenti o per le idee, similmente alle sensazioni di cui sono contemporanei. Che la nostra concezione abituale della durata derivi da una graduale invasione dello spazio nel campo della coscienza pura, lo prova molto bene il fatto che per togliere all\’io la facoltà di percepire un tempo omogeneo basta
staccare da lui quello strato più superficiale di fatti psichici che egli utilizza come regolatori. Il sogno ci pone proprio questa condizione, poiché il sonno, allentando il gioco delle funzioni organiche, modifica soprattutto la superficie di comunicazione tra l\’io e le cose esterne, allora non misuriamo più la durata, la sentiamo; da quantità, ritorna allo stato di qualità: non c\’è più valutazione matematica del tempo trascorso, essa ha lasciato il posto a un istinto confuso che, come tutti gli istinti, può commettere degli errori grossolani ma talvolta anche procedere con una straordinaria sicurezza. Anche allo stato di veglia, l\’esperienza quotidiana dovrebbe insegnarci a cogliere la differenza tra la durata-qualità, quella che la coscienza afferra immediatamente, e che probabilmente l\’animale percepisce, e il tempo per così dire materializzato, tempo divenuto quantità a causa di un dispiegamento nello spazio.
[...] Quindi, per concludere, distinguiamo, due torme di molteplicità, due valutazioni molto diverse della durata, due aspetti della vita cosciente. Al di sotto della durata omogenea, simbolo estensivo della vera durata, una psicologia attenta riesce a districare una durata i cui momenti eterogenei si compenetrano al di sotto della molteplicità numerica degli stati di coscienza, una molteplicità qualitativa; al di sotto di un io dagli stati ben definiti, un io in cui la successione implica fusione e organizzazione. Ma la maggior parte delle volte noi ci limitiamo al primo di essi, e cioè all\’ombra dell\’io proiettata nello spazio omogeneo. La coscienza, tormentata da un insaziabile desiderio di distinguere, sostituisce il simbolo alla realtà, oppure scorge quest\’ultima solo attraverso il primo. E siccome l\’io così rifratto, e per ciò stesso suddiviso, si presta infinitamente meglio alle esigenze della vita sociale in generale e del linguaggio in particolare, essa lo preferisce, e perde di vista a poco a poco l\’io fondamentale. Per ritrovare questo io fondamentale, così come verrebbe percepito da una coscienza inalterata, è necessario un vigoroso sforzo d\’analisi attraverso il quale i fatti psicologici interni e vivi verranno isolati dalle loro immagini dapprima rifratte, e poi solidificate nello spazio omogeneo. In altri termini le nostre percezioni, sensazioni, emozioni e idee si presentano sotto un duplice aspetto: l\’uno netto, preciso, ma impersonale; l\’altro confuso, infinitamente mobile e inesprimibile, poiché il linguaggio non potrebbe coglierlo senza fissarne la mobilità, e nemmeno adattarlo alla sua forma banale senza farlo cadere nel dominio comune.

(ho copiatoeincollato questo estratto da qui: http://digilander.libero.it/time2000/Time/bergson/Bergsonsaggio.html)

Fondamenti della Matematica_02 – Assi e assiomi

Sto seguendo un corso di Fondamenti della Matematica (Sapienza), e mi ripropongo di raccogliere alcune riflesisoni che giungono a me da questa insolita ed esaltante esperienza.

Benché il mio impegno nell’affrontare questa disciplina non sia certo scanzonato, nessuno dei miei articoli di questa serie pretende di essere scientificamente valido, I miei spunti non devono essere considerati come critiche, ma solo come curiosità e riflessioni da parte di un inguaribile impiccione.

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È utile descrivere un asso di fiori a partire dalla manifestazione fisica con la quale solitamente ci si presenta?

Braque, Natura morta con asso di fiori, 1911

No! Assiomaticamente, è piu utile individuarne le funzioni rispetto al sistema di regole.

La geometria assiomatica va al di là della figura geometrica (la quale esaurisce la propria utilità nell’esemplificare figurativamente  un modello euristico).

Come il significato di un segno linguistico non è rintracciabile che attraverso le relazioni che esso intrattiene con il resto dei segni che compongono la langue.

La langue est un système organisé et doué d’une fonction sociale c’est-à-dire un signe relié les uns aux autres où la valeur de chacun est conditionnée par l’existence des autres

> Fondamenti della matematica_01

Fondamenti della Matematica_01 – Geometria intuitiva

Sto seguendo un corso di Fondamenti della Matematica (Sapienza), e mi ripropongo di raccogliere alcune riflesisoni che giungono a me da questa insolita ed esaltante esperienza.

Benché il mio impegno nell’affrontare questa disciplina non sia certo scanzonato, nessuno dei miei articoli di questa serie pretende di essere scientificamente valido, I miei spunti non devono essere considerati come critiche, ma solo come curiosità e riflessioni da parte di un inguaribile impiccione.

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Durante la presentazione del corso, il prof. Bernardi ha chiarito che il programma del corso si incentra sull’illustrazione della teoria assiomatica (o razionale) degli insiemi.

Il primo passo è costituito dall’oltrepassamento della teoria ingenua (naive) degli insiemi, che viene vista come una tappa elementare e rudimentale; magari anche utile, ma non rigorosa.

Per far apire in che senso si opprrà una teoria assiomatica ad una ingenua degli insiemi, il professore esemplifica attraverso la distinzione tra geometria intuitiva e geometria assiomatica.

La geometria intuitiva parte dalle osservazioni, e crea un sistema utile a spiegare, ma non a dimostrare. Secondo questo sistema, una retta, ad esempio, è una linea lunga e dritta. La geometria assiomatica, invece, si pone come obiettivo quello di dimostrare gli argomenti comuni alla geometria intuitiva. La dimostrazione parte da risutati che già conosco, e che quindi precedono concettualmente gli argomenti in questione. Questi dati che assumo come base, sono i postulati, o assiomi.

La geometria assiomatica non spiega la natura della retta, ma la classifica come un oggetto che deve soddisfare a determinati postulati.

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A questo punto io avrei due domande.

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1) Il punto, ad esempio, è un elemento della geometria intuitiva o assiomatica? Nonostante la sua lampante raffigurabilià, esso è un concetto astratto, al di fuori (per definizione) di ogni umana percezione.

Per approfondire questo punto, rimando al seguente articolo di Francesco Lamendola, Euclide e il punto.

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2)  Da dove giungono i postulati se non dalla osservazione? Forse la teoria intuitiva non è una evoluzione di quella intuitiva, bensì una sorta di astrazione simile non tanto a quella pittorica, quanto a quella razionalistico-cartesiana.

Pertanto, mi piace concludere, con un breve cenno al valore che per primo Locke ridà all’esperienza. Contro l’innatismo egli oppone il dato di fatto che, se davvero certe idee fossero innate nell’uono, esse si presneterbbero con carattere universlae e universalmente riconoscibile. A questo punto, la distinzione fra geometria intuitiva  e assiomatica non avrebbe ragione d’esistere, perché coinciderebbero. Ma il fatto è che in realtà non coincidono.

No man’s knowledge here can go beyond his experience

John Locke